ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58519
Темы:    [ Кривые второго порядка ]
[ Алгебраические кривые ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).

Решение

Рассмотрим шестиугольник ABCDEF, вершины которого лежат на конике f = 0. Четырехугольники ABCD, AFED и BEFC вписаны в эту конику, поэтому f можно представить в любом из следующих видов:

f = $\displaystyle \lambda_{1}^{}$lABlCD + $\displaystyle \mu_{1}^{}$lADlBC, (1)
f = $\displaystyle \lambda_{2}^{}$lAFlED + $\displaystyle \mu_{2}^{}$lADlEF, (2)
f = $\displaystyle \lambda_{3}^{}$lBElCF + $\displaystyle \mu_{3}^{}$lBClEF. (3)


Приравнивая выражения (1) и (2), получаем

$\displaystyle \lambda_{1}^{}$lABlCD - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$lAFlED = ($\displaystyle \mu_{1}^{}$lBC - $\displaystyle \mu_{2}^{}$lEF)lAD.


Пусть X — точка пересечения прямых AB и ED. В точке X обращаются в нуль функции lABlCD и lAFlED, а функция lAD в этой точке в нуль не обращается. Следовательно, в точке X обращается в нуль функция $ \mu_{1}^{}$lBC - $ \mu_{2}^{}$lEF, т. е. точка X лежит на прямой $ \mu_{1}^{}$lBC = $ \mu_{2}^{}$lEF. Аналогично доказывается, что точка пересечения прямых CD и AF лежит на прямой $ \mu_{1}^{}$lBC = $ \mu_{2}^{}$lEF. Очевидно также, что точка пересечения прямых BC и EF лежит на прямой $ \mu_{1}^{}$lBC = $ \mu_{2}^{}$lEF. В результате получаем следующее утверждение.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 5
Название Пучки коник
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.052

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .