ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58520
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).

Решение

а) Продолжим рассуждения из решение задачи 31.052 дальше. Приравнивая (2) и (3), получим, что точки пересечения прямых AF и BE, ED и CF, AD и BC лежат на прямой $ \mu_{2}^{}$lAD = $ \mu_{3}^{}$lBC. А приравняв (1) и (3), получим, что точки пересечения прямых AB и CF, CD и BE, AD и EF лежат на прямой $ \mu_{1}^{}$lAD = $ \mu_{3}^{}$lEF. Легко проверить, что полученные прямые

$\displaystyle \mu_{1}^{}$lBC = $\displaystyle \mu_{2}^{}$lEF,    $\displaystyle \mu_{2}^{}$lAD = $\displaystyle \mu_{3}^{}$lBC,    $\displaystyle \mu_{1}^{}$lAD = $\displaystyle \mu_{3}^{}$lEF

пересекаются в одной точке. В самом деле, если X — точка пересечения первых двух из этих прямых, то

$\displaystyle \mu_{1}^{}$$\displaystyle \mu_{2}^{}$lBC(X)lAD(X) = $\displaystyle \mu_{2}^{}$$\displaystyle \mu_{3}^{}$lEF(X)lBC(X).

Сократив на $ \mu_{2}^{}$lBC(X), получим $ \mu_{1}^{}$lAD = $ \mu_{3}^{}$lEF (мы не будем останавливаться на обсуждении вырожденного случая, когда $ \mu_{2}^{}$lBC(X) = 0).
б) При доказательстве теоремы Штейнера исходными четырехугольниками были ABCD, AFED и BEFC. Можно исходить также из четырехугольников ABFE, ABDC и CDFE. Тогда получим теорему Киркмана.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 5
Название Пучки коник
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.053

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .