Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

   Решение

Окружность S_A проходит через точки A и C; окружность S_B проходит через точки B и C; центры обеих окружностей лежат на прямой AB. Окружность S касается окружностей S_A и S_B, а кроме того, она касается отрезка AB в точке C₁. Докажите, что CC₁ — биссектриса треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

Через точки A и B проведены окружности S₁ и S₂, касающиеся окружности S, и окружность S₃, перпендикулярная S. Докажите, что S₃ образует равные углы с окружностями S₁ и S₂.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности, пересекающиеся в точке A, касаются окружности (или прямой) S₁ в точках B₁ и C₁, а окружности (или прямой) S₂ в точках B₂ и C₂ (причем касание в B₂ и C₂ такое же, как в B₁ и C₁). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников AB₁C₁ и AB₂C₂, касаются друг друга.

Прислать комментарий

Решение

Окружность S_A проходит через точки A и C; окружность S_B проходит через точки B и C; центры обеих окружностей лежат на прямой AB. Окружность S касается окружностей S_A и S_B, а кроме того, она касается отрезка AB в точке C₁. Докажите, что CC₁ — биссектриса треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах).
б) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки C₁ и B₁ так, что AC₁ = B₁C₁ и вписанная окружность S треугольника ABC является вневписанной окружностью треугольника AB₁C₁. Докажите, что вписанная окружность треугольника AB₁C₁ касается окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]