ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108142
УсловиеДаны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.РешениеОбозначим внешнюю окружность через , внутреннюю , описанную окружность треугольника BKM – 1 , их радиусы – R , r и r1 соответственно. Пусть отрезок BN пересекает окружность в точке P . При гомотетии с центром в точке N и коэффициентом окружность переходит в окружность . Точка P при этом переходит в точку B , а касательная AB к окружности , проведённая в точке K , – в касательную l к окружности , параллелельную AB . Поскольку касательная l параллельна хорде AB , то точка касания – середина дуги AB , не содержащей точку N , т.е. точка M . Значит, точки N , K и M лежат на одной прямой. Пусть BMN = α . Из теоремы синусов следует, что Поскольку при рассматриваемой гомотетии отрезок NP переходит в отрезок NB , то = . По теореме о касательной и секущей BK2 = BP· BN . Значит, Отсюда следует, что отношение не зависит от выбора точки K , а значит, и r1 не зависит от выбора точки K . Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|