ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108142
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Теорема синусов ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

Решение


Обозначим внешнюю окружность через , внутреннюю , описанную окружность треугольника BKM 1 , их радиусы – R , r и r1 соответственно. Пусть отрезок BN пересекает окружность в точке P . При гомотетии с центром в точке N и коэффициентом окружность переходит в окружность . Точка P при этом переходит в точку B , а касательная AB к окружности , проведённая в точке K , – в касательную l к окружности , параллелельную AB . Поскольку касательная l параллельна хорде AB , то точка касания – середина дуги AB , не содержащей точку N , т.е. точка M . Значит, точки N , K и M лежат на одной прямой. Пусть BMN = α . Из теоремы синусов следует, что
= = .

Поскольку при рассматриваемой гомотетии отрезок NP переходит в отрезок NB , то = . По теореме о касательной и секущей BK2 = BP· BN . Значит,
()2 = ()2= = = = = 1- = 1-.

Отсюда следует, что отношение не зависит от выбора точки K , а значит, и r1 не зависит от выбора точки K .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6492
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 01.5.10.3
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 01.5.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .