Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные расстояния между которыми все больше 1.

   Решение

---

Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа  x + y,  x – y,  xy и ^x/_y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.

   Решение

---

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ — в точке $F$. В треугольнике $AED$ отмечен центр вписанной окружности $I$, а из точки $F$ проведен луч, перпендикулярный биссектрисе угла $AID$. В каком отношении этот луч делит угол $AFB$?

   Решение

---

Можно ли все клетки таблицы 9×2002 заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел в каждом столбце и суммы чисел в каждой строке были бы простыми числами?

   Решение

---

Многоугольник разрезан на несколько многоугольников. Пусть p — количество полученных многоугольников, q — количество отрезков, являющихся их сторонами, r — количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что p - q + r = 1.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58170  (#23.011)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали.
Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58171  (#23.012)

Темы:   [ Инварианты ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри любого квадрата 2×2.
Может ли при этом на доске остаться ровно одна чёрная клетка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58172  (#23.013)

Темы:   [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан выпуклый 2n-угольник A₁...A_2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A₁,..., A_2n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58173  (#23.014)

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58174  (#23.015)  [Формула Эйлера]

Тема:   [ Эйлерова характеристика ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Многоугольник разрезан на несколько многоугольников. Пусть p — количество полученных многоугольников, q — количество отрезков, являющихся их сторонами, r — количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что p - q + r = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями