Информация о задаче

Задача 58174

Тема:

[

Эйлерова характеристика

]

Сложность: 5
Классы: 8,9
Название задачи: Формула Эйлера.

Прислать комментарий

Условие

Многоугольник разрезан на несколько многоугольников. Пусть p — количество полученных многоугольников, q — количество отрезков, являющихся их сторонами, r — количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что p - q + r = 1.

Решение

Пусть n — количество вершин исходного многоугольника, n₁,..., n_p — количества вершин полученных многоугольников (к вершинам данного многоугольника мы относим и все вершины других многоугольников, лежащие на его сторонах). Представим число r в виде r = n + r₁ + r₂, где r₁ и r₂ -- количества вершин полученных многоугольников, лежащих на сторонах исходного многоугольника и внутри его. С одной стороны, сумма углов всех полученных многоугольников равна $\sum\limits_{i=1}^{p}$ (n_i - 2) $\pi$ = $\sum\limits_{i=1}^{p}$ n_i $\pi$ - 2p $\pi$ . С другой стороны, она равна (n - 2) $\pi$ + r₁ $\pi$ + 2r₂ $\pi$ . Остается заметить, что $\sum\limits_{i=1}^{p}$ n_i = 2(q - n - r₁) + n + r₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Инварианты
Тема	Инварианты
задача
Номер	23.015