ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65558
Темы:    [ Средние величины ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа  x + y,  x – y,  xy и x/y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.


Решение

  Заметим, что     С помощью перебора найдём на доске пару чисел  a < b,  чьё среднее арифметическое равно среднему геометрическому оставшейся пары чисел c и d. Ниже мы докажем, что такое разбиение единственно (с точностью до перестановки равных чисел), поэтому  a = x – y,  b = x + y,  откуда  x = ½ (a + b),  y = ½ (b – a).
  Докажем единственность. Если в равенстве     поменять местами два неравных числа из разных частей, то равенство нарушится: ведь одна из частей увеличится, а другая – уменьшится. Поменять пары целиком тоже нельзя: отрицательное число не может стоять под корнем, а если все числа неотрицательны, то     и равенство достигается, только когда все четыре числа равны, что невозможно:
x + y > x – y.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 6, 10-11 кл. – 5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .