Задача 58171

Темы:    [ Инварианты ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри любого квадрата 2×2.
Может ли при этом на доске остаться ровно одна чёрная клетка?

Решение

При перекрашивании квадрата 2×2, содержащего k чёрных клеток, получится  4 – k  чёрных клеток. Поэтому число чёрных клеток изменится на  (4 – k) – k = 4 – 2k,  то есть на чётное число. Так как чётность числа чёрных клеток сохраняется, из исходных 32 чёрных клеток мы не сможем получить одну чёрную клетку.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Инварианты
Тема	Инварианты
задача
Номер	23.012