ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники >> параграф 6. Невыпуклые многоугольники
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

В плоскости дан треугольник A1A2A3 и прямая l вне его, образующая с продолжением сторон треугольника A1A2, A2A3, A3A1 соответственно углы α3, α1, α2.  Через точки A1, A2, A3 проводятся прямые, образующие с l соответственно углы  π – α1,  π – α2,  π – α3. Доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке. Все углы отсчитываются от прямой l в одном направлении.

Вниз   Решение

Автор: Кожевников П.А.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω2 касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой AB, где A и B — несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками A и B, отражается относительно середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]      

  с решениями  

Задача 58156  (#22.026)

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10

Докажите, что для любого тринадцатиугольника найдется прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако при любом n > 13 существует n-угольник, для которого это неверно.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58157  (#22.027)

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом n-угольнике?
Прислать комментарий     Решение

Задача 58158  (#22.028)

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой AB, где A и B — несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками A и B, отражается относительно середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58159  (#22.029)

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]
Сложность: 8
Классы: 9,10

Числа $ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$, сумма которых равна (n - 2)$ \pi$, удовлетворяют неравенствам 0 < $ \alpha_{i}^{}$ < 2$ \pi$. Докажите, что существует n-угольник A1...An с углами $ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$ при вершинах A1,...An.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .