Информация о задаче

Задача 58159

Тема:

[

Невыпуклые многоугольники

]

Сложность: 8
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Числа $\alpha_{1}^{}$ ,..., $\alpha_{n}^{}$ , сумма которых равна (n - 2) $\pi$ , удовлетворяют неравенствам 0 < $\alpha_{i}^{}$ < 2 $\pi$ . Докажите, что существует n-угольник A₁...A_n с углами $\alpha_{1}^{}$ ,..., $\alpha_{n}^{}$ при вершинах A₁,...A_n.

Решение

Доказательство проведем индукцией по n. При n = 3 утверждение очевидно. Если одно из чисел $\alpha_{i}^{}$ , равно $\pi$ , то шаг индукции очевиден, поэтому можно считать, что все числа $\alpha_{i}^{}$ отличны от $\pi$ . Если n $\ge$ 4, то ${\frac{1}{n}}$ $\sum\limits_{i=1}^{n}$ ( $\alpha_{i}^{}$ + $\alpha_{i+1}^{}$ ) = 2(n - 2) $\pi$ /n $\ge$ $\pi$ , причем равенство достигается только для четырехугольника. Значит, в любом случае, кроме параллелограмма ( $\alpha_{1}^{}$ = $\pi$ - $\alpha_{2}^{}$ = $\alpha_{3}^{}$ = $\pi$ - $\alpha_{4}^{}$ ), найдутся два соседних числа, сумма которых больше $\pi$ . Более того, найдутся такие числа $\alpha_{i}^{}$ и $\alpha_{i+1}^{}$ , что $\pi$ < $\alpha_{i}^{}$ + $\alpha_{i+1}^{}$ < 3 $\pi$ . В самом деле, если все данные числа меньше $\pi$ , то можно взять вышеуказанную пару чисел; если же $\alpha_{j}^{}$ > $\pi$ , то можно взять такие числа $\alpha_{i}^{}$ и $\alpha_{i+1}^{}$ , что $\alpha_{i}^{}$ < $\pi$ и $\alpha_{i+1}^{}$ > $\pi$ . Пусть $\alpha_{i}^{*}$ = $\alpha_{i}^{}$ + $\alpha_{i+1}^{}$ - $\pi$ . Тогда 0 < $\alpha_{i}^{*}$ < 2 $\pi$ , поэтому по предположению индукции существует (n - 1)-угольник M с углами $\alpha_{1}^{}$ ,..., $\alpha_{i-1}^{}$ , $\alpha_{i}^{*}$ , $\alpha_{i+2}^{}$ ,..., $\alpha_{n}^{}$ .
Возможны три случая: 1) $\alpha_{i}^{*}$ < $\pi$ , 2) $\alpha_{i}^{*}$ = $\pi$ , 3) $\pi$ < $\alpha_{i}^{*}$ < 2 $\pi$ . В первом случае a_i + a_{i + 1} < 2 $\pi$ , поэтому одно из этих чисел, например $\alpha_{i}^{}$ , меньше $\pi$ . Если $\alpha_{i+1}^{}$ < $\pi$ , то отрежем от M треугольник с углами $\pi$ - $\alpha_{i}^{}$ , $\pi$ - $\alpha_{i+1}^{}$ , $\alpha_{i}^{*}$ (рис., а), если $\alpha_{i+1}^{}$ > $\pi$ , то приставим к M треугольник с углами $\alpha_{i}^{}$ , $\alpha_{i+1}^{}$ - $\pi$ , $\pi$ - $\alpha_{i}^{*}$ (рис., б). Во втором случае отрежем от M трапецию с основанием, лежащим на стороне A_{i - 1}A_i^*A_{i + 2} (рис., в). В третьем случае $\alpha_{i}^{}$ + $\alpha_{i+1}^{}$ > $\pi$ , поэтому одно из этих чисел, например $\alpha_{i}^{}$ , больше $\pi$ . Если $\alpha_{i+1}^{}$ > $\pi$ , то приставим к M треугольник с углами $\alpha_{i}^{}$ - $\pi$ , $\alpha_{i+1}^{}$ - $\pi$ , 2 $\pi$ - $\alpha_{i}^{*}$ (рис., г), если $\alpha_{i+1}^{}$ < $\pi$ , то отрежем от M треугольник с углами 2 $\pi$ - $\alpha_{i}^{}$ , $\pi$ - $\alpha_{i+1}^{}$ и $\alpha_{i}^{*}$ - $\pi$ (рис., д).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	6
Название	Невыпуклые многоугольники
Тема	Невыпуклые многоугольники
задача
Номер	22.029