В треугольнике ABC стороны AB и AC равны соответственно и , а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен . Найдите сторону BC и угол ACB, если известно, что угол ACB — острый.

   Решение

В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля, стартовав одновременно. Вася каждый круг проезжал на две секунды быстрее Пети, а Петя – на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле – два круга. Сколько кругов составляла дистанция?

   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

   Решение

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что  AOC = 90^o.

   Решение

Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а) P(n)n - 3; б) P(n)2n - 7; в) P(n)2n - 10 при n13.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]      

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многоугольник A₁...A_n лежит внутри окружности S₁, а выпуклый многоугольник B₁...B_m — внутри S₂. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек A₁, ..., A_n лежит внутри S₂ или одна из точек B₁, ..., B_m лежит внутри S₁.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что существует такое число N, что среди любых N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а) P(n)n - 3; б) P(n)2n - 7; в) P(n)2n - 10 при n13.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]