ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56858
Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что  $ \angle$AOC = 90o.

Решение

Пусть точка F делит отрезок BC в отношении CF : FB = 1 : 2; P и Q — точки пересечения отрезка AF с BD и CE соответственно. Ясно, что треугольник OPQ правильный. Используя результат задачи 1.3, легко проверить, что AP : PF = 3 : 4 и AQ : QF = 6 : 1. Следовательно,  AP : PQ : QF = 3 : 3 : 1, а значит, AP = PQ = OP. Поэтому  $ \angle$AOP = (180o - $ \angle$APO)/2 = 30o и  $ \angle$AOC = $ \angle$AOP + $ \angle$POQ = 90o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 3
Название Правильный треугольник
Тема Правильный (равносторонний) треугольник
задача
Номер 05.024

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .