Версия для печати
Убрать все задачи

---

Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что  MK = KN.

   Решение

---

Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке).
Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

   Решение

---

Окружность пересекает стороны BC, CA, AB треугольника ABC в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки A₁, B₁ и C₁, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через A₂, B₂ и C₂, тоже пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57838  (#16.001)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Удвоение медианы ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57839  (#16.002)

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Симметричная стратегия ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57840  (#16.003)

Тема:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9

Окружность пересекает стороны BC, CA, AB треугольника ABC в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки A₁, B₁ и C₁, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через A₂, B₂ и C₂, тоже пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57841  (#16.004)

Тема:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9

Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55713  (#16.005)

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть P - середина стороны AB выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что если площадь треугольника PDC равна половине площади четырехугольника ABCD, то стороны BC и AD параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями