Версия для печати
Убрать все задачи

---

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, причем  S_ABP² + S_CDP² = S_BCP² + S_ADP². Докажите, что P — середина одной из диагоналей.

   Решение

---

Постройте прямую, проходящую через данную точку и касающуюся данной окружности.

   Решение

---

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны.
Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.

   Решение

---

Три равные окружности пересекаются так, как показано на рис., а или б. Докажите, что  AB₁ + BC₁± CA₁ = 180^o, где знак минус берется в случае б.

   Решение

---

"То" да "это", да половина "того" да "этого" – сколько это будет процентов от трёх четвертей "того" да "этого"?

   Решение

---

Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?

   Решение

---

Все углы выпуклого многоугольника A₁...A_n равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57066

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Четность и нечетность ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9

Число сторон многоугольника A₁...A_n нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57070

Тема:   [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9

Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57079

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Неравенства с векторами ] [ Центр масс ]

Сложность: 3 Классы: 9

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X₁...X₁₀, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57080

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Момент инерции ]

Сложность: 3 Классы: 9

Правильный многоугольник  A₁...A_n вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что   A₁X² + ... + A_nX² = n(R² + d²),  где  d = OX.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57067

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Признаки подобия ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Все углы выпуклого многоугольника A₁...A_n равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями