Задача 57067

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Признаки подобия ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

Все углы выпуклого многоугольника A₁...A_n равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.

Решение

  Углы многоугольника A₁...A_n равны  180° – ^360°/_n,  а углы вида A_kOA_k+1 равны ^360°/_n. Поэтому  ∠OA₁A₂ + ∠A₁A₂O = ∠A₁A₂O + ∠OA₂A₃,  то есть
∠OA₁A₂ = ∠OA₂A₃.  Значит, треугольники OA₁A₂ и OA₂A₃ подобны, следовательно,  OA₁ : OA₂ = OA₂ : OA₃.
  Аналогично  OA₂ : OA₃ = OA₃ : OA₄ = ... = OA_n : OA₁.  Перемножив все эти равные отношения, получим, что  OA₁ : OA₂ = 1,  то есть все треугольники вида A_kOA_k+1 (а значит, и все стороны A_kA_k+1) равны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.054