a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что  a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

   Решение

На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

   Решение

На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдётся клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток?

   Решение

Докажите, что если отрезок B₁C₁ антипараллелен стороне BC, то B₁C₁OA, где O — центр описанной окружности.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

Прямые AM и AN симметричны относительно биссектрисы угла A треугольника ABC (точки M и N лежат на прямой BC). Докажите, что  BM ^. BN/(CM ^. CN) = c²/b². В частности, если AS — симедиана, то  BS/CS = c²/b².

Прислать комментарий

Решение

Выразите длину симедианы AS через длины сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Отрезок B₁C₁, где точки B₁ и C₁ лежат на лучах AC и AB, называют антипараллельным стороне BC, если  AB₁C₁ = ABC и  AC₁B₁ = ACB. Докажите, что симедиана AS делит пополам любой отрезок B₁C₁, антипараллельный стороне BC.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если отрезок B₁C₁ антипараллелен стороне BC, то B₁C₁OA, где O — центр описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Касательная в точке B к описанной окружности S треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите, что BD — симедиана треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]