Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 176]

Задача 56841 (#05.011)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а) d² = R² - 2Rr, где d = OI;
б) d_a² = R² + 2Rr_a, где d_a = OI_a.

Прислать комментарий Решение

Задача 56842 (#05.012B)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности. Докажите, что OB $\bot$ BI (или же O совпадает с I) тогда и только тогда, когда b = (a + c)/2.

Прислать комментарий Решение

Задача 56843 (#05.012)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Продолжения биссектрис углов треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁; M — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

a) $\displaystyle {\frac{MA\cdot MC}{MB_1}}$ = 2r; б) $\displaystyle {\frac{MA_1\cdot MC_1}{MB}}$ = R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56844 (#05.013)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Длины сторон треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причем a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB₁ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 56845 (#05.014)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 176]