Задача 56844

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

Длины сторон треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причем a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB₁ пополам.

Решение

Пусть M — середина стороны AC, N — точка касания вписанной окружности со стороной BC. Тогда BN = p - b (см. задачу 3.2), поэтому BN = AM, так как p = 3b/2 по условию. Кроме того,  OBN = B₁AM, а значит,  OBN = B₁AM, т. е. OB = B₁A. Но B₁A = B₁O (см. задачу 2.4, а)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.013