Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 176]

Задача 56836 (#05.007)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

В неравнобедренном треугольнике ABC через середину M стороны BC и центр O вписанной окружности проведена прямая MO, пересекающая высоту AH в точке E. Докажите, что AE = r.

Прислать комментарий Решение

Задача 56837 (#05.008)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках P и Q. Расстояния от точек P, Q и A до некоторой касательной к этой окружности равны u, v и w. Докажите, что uv/w² = sin²(A/2).

Прислать комментарий Решение

Задача 56838 (#05.008.1)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 6
Классы: 8

а) На стороне AB треугольника ABC взята точка P. Пусть r, r₁ и r₂ — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCP и ACP; h — высота, опущенная из вершины C. Докажите, что r = r₁ + r₂ - 2r₁r₂/h.
б) Точки A₁, A₂, A₃,... лежат на одной прямой (в указанном порядке). Докажите, что если радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_{i + 1} равны одному и тому же числу r₁, то радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_{i + k} равны одному и тому же числу r_k.

Прислать комментарий Решение

Задача 56839 (#05.009)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 3
Классы: 8

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 56840 (#05.010)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8

Из точки P дуги BC описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PX, PY и PZ на BC, CA и AB соответственно. Докажите, что ${\frac{BC}{PX}}$ = ${\frac{AC}{PY}}$ + ${\frac{AB}{PZ}}$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 176]