Версия для печати
Убрать все задачи

---

Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г. Из них выбрали 10 гирь чётной массы и положили на левую чашу весов. Затем выбрали 10 гирь нечётной массы и положили на правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажите, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью масс в 20 г.

   Решение

---

31-го декабря Антон сказал, что после Нового Года всё, сказанное им до Нового Года станет ложью. Правду ли он сказал?

   Решение

---

В начале года в 7 классе учились 25 человек. После того как туда пришли семеро новеньких, процентный состав отличников увеличился на 10 (если в начале года он был a%, то теперь –  (a + 10)%).  Сколько теперь отличников в классе?

   Решение

---

Касательные к описанной окружности неравнобедренного треугольника ABC в точках A, B и C пересекают продолжения сторон в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.=-1

   Решение

---

Сто сидений карусели расположены по кругу через равные промежутки. Каждое покрашено в жёлтый, синий или красный цвет. Сиденья одного и того же цвета расположены подряд и пронумерованы 1, 2, 3, ... по часовой стрелке. Синее сиденье № 7 противоположно красному № 3, а жёлтое № 7 — красному № 23. Найдите, сколько на карусели жёлтых сидений, сколько синих и сколько красных.

   Решение

---

Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Прямые AC и BD, AD и BC пересекаются в точках P и Q. Докажите, что  AB PQ.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 86]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56688  (#03.031)

Тема:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что  AB ^. CD = BC ^. AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56689  (#03.032)

Тема:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и PB к окружности S. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56690  (#03.033)

Тема:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, причем центр O окружности S₁ лежит на S₂. Прямая, проходящая через точку O, пересекает отрезок AB в точке P, а окружность S₂ в точке C. Докажите, что точка P лежит на поляре точки C относительно окружности S₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56691  (#03.034)

Тема:   [ Применение теоремы о высотах треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Прямые AC и BD, AD и BC пересекаются в точках P и Q. Докажите, что  AB PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56692  (#03.035)

Тема:   [ Применение теоремы о высотах треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прямые PC и PD касаются окружности с диаметром AB (C и D — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая P с точкой пересечения прямых AC и BD, перпендикулярна AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 86]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями