Задача 56692

Тема:    [ Применение теоремы о высотах треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Прямые PC и PD касаются окружности с диаметром AB (C и D — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая P с точкой пересечения прямых AC и BD, перпендикулярна AB.

Решение

Обозначим точки пересечения прямых AC и BD, BC и AD через K и K₁ соответственно. Согласно предыдущей задаче  KK₁ AB, поэтому достаточно доказать, что точка пересечения касательных в точках C и D лежит на прямой KK₁.
Докажем, что касательная в точке C проходит через середину отрезка KK₁. Пусть M — точка пересечения касательной в точке C и отрезка KK₁. Стороны острых углов ABC и CKK₁ соответственно перпендикулярны, поэтому они равны. Аналогично  CAB = CK₁K. Ясно также, что  KCM = ABC, поэтому треугольник CMK равнобедренный. Аналогично треугольник CMK₁ равнобедренный и  KM = CM = K₁M, т. е. M — середина отрезка KK₁.
Аналогично доказывается, что касательная в точке D проходит через середину отрезка KK₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	6
Название	Применение теоремы о высотах треугольника
Тема	Применение теоремы о высотах треугольника
задача
Номер	03.035