Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 99]

Задача 30607 (#021)

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ делится на 133 при любом натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30608 (#022)

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Пусть натуральное число n таково, что n + 1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30609 (#023)

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел такова, что a_n+2 = a_n+1a_n + 1 при всех n.
а) a₁ = a₂ = 1. Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
б) Докажите, что a_n – 22 – составное число при любом n > 10.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30610 (#024)

Темы:	[	Признаки делимости на 2 и 4	]
	[	Признаки делимости на 5 и 10	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю
а) 10; б) 2; в) 5.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30611 (#025)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Признаки делимости на 2 и 4	]

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

Докажите, что a₁a₂...a_n–1a_n ≡ a_n–1a_n (mod 4).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 99]