Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

   Решение

---

Не используя калькулятора, определите знак числа  (cos(cos 1) – cos 1)(sin(sin 1) – sin 1).

   Решение

---

На плоскости отмечены четыре точки. Докажите, что их можно разбить на две группы так, что эти группы точек нельзя будет отделить одну от другой никакой прямой.

   Решение

---

Целые числа a и b таковы, что  56a = 65b.  Докажите, что   a + b  – составное число.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30364  (#007)

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

На сколько нулей оканчивается число 100!?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30365  (#008)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Количество и сумма делителей числа ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30366  (#009)

Темы:   [ Признаки делимости на 11 ] [ Ребусы ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причём одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось  АБ×ВГ = ДДЕЕ.  Докажите, что он где-то ошибся.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30367  (#010)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30368  (#011)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Целые числа a и b таковы, что  56a = 65b.  Докажите, что   a + b  – составное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями