Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точка M лежит вне угла AOB, OC – биссектриса этого угла. Докажите, что угол MOC равен полусумме углов AOM и BOM.

   Решение

---

Диаметр окружности радиуса r является основанием правильного треугольника. Найдите ту часть площади треугольника, которая лежит вне круга.

   Решение

---

Основание пирамиды – ромб со стороной 2 и острым углом 45^o . Шар радиуса касается каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба, и найдите объём пирамиды.

   Решение

---

При каком наибольшем $n$ существует выпуклый многогранник с $n$ гранями, обладающий следующим свойством: для любой грани найдется точка вне многогранника, из которой видны остальные $n-1$ грани?

   Решение

---

Точки A, B, C и D последовательно расположены на окружности, причём центр O окружности расположен внутри четырёхугольника ABCD. Точки K, L, M и N – середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что  ∠KON + ∠MOL = 180°.

   Решение

---

Точка, расположенная на отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, соединена со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

   Решение

---

На шахматную доску поставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга.
Докажите, что на ту же доску можно поставить ещё одного коня с сохранением этого свойства.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116880  (#11.1.1)

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3- Классы: 10,11

Последовательность a_n задана условием:  a_n+1 = a_n – a_n–1.  Найдите a₁₀₀, если  a₁ = 3,  a₂ = 7.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116881  (#11.1.2)

Темы:   [ Параллелограмм Вариньона ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3- Классы: 10,11

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116882  (#11.1.3)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116888  (#11.3.3)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На шахматную доску поставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга.
Докажите, что на ту же доску можно поставить ещё одного коня с сохранением этого свойства.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116883  (#11.2.1)

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Тригонометрический круг ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Сравните: sin 3 и sin 3°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями