Версия для печати
Убрать все задачи

---

Фиксированы две окружности w₁ и w₂, одна их внешняя касательная l и одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой L строятся точки Y и Z так, что XY и XZ касаются w₁ и w₂ соответственно, а треугольник XYZ содержит окружности w₁ и w₂. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ, лежат на одной прямой.

   Решение

---

Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?

   Решение

---

Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (a + b - c)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2.

   Решение

---

Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115997

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115998

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Простые числа и их свойства ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Докажите, что ни при каких натуральных значениях x и y число  x⁸ – x⁷y + x⁶y² – ... – xy⁷ + y⁸  не является простым.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116001

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116002

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Дан угол с вершиной O и окружность, касающаяся его сторон в точках A и B. Луч с началом в точке A, параллельный OB, пересекает окружность в точке C. Отрезок OC пересекает окружность в точке E. Прямые AE и OB пересекаются в точке K. Докажите, что  OK = KB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116003

Темы:   [ Функции. Непрерывность (прочее) ] [ Замена переменных ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Функция  f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству:  .  Найдите  f(–1).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями