ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115998
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Докажите, что ни при каких натуральных значениях x и y число  x8x7y + x6y² – ... – xy7 + y8  не является простым.


Решение

x8x7y + x6y² – ... – xy7 + y8 =    =    =     = (x² – xy + y²) (x6x³y³ + y6).
Полученные множители имеют одинаковый вид (неполный квадрат суммы). Но  a² – ab + b² = (a – b)² + ab ≥ 1,  если а и b – натуральные числа. Равенство возможно только при  x = y = 1,  тогда данное число равно 1, то есть не является простым. В остальных случаях каждый множитель больше 1, поэтому данное число – составное.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
Класс 10
задача
Номер 10.5.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .