|
|
 |
Условие
Дан угол с вершиной O и окружность, касающаяся его сторон в точках A и B. Луч с началом в точке A, параллельный OB, пересекает окружность в точке C. Отрезок OC пересекает окружность в точке E. Прямые AE и OB пересекаются в точке K. Докажите, что OK = KB.
Решение
Пусть ∠ACE = α, тогда ∠OAK = α (угол между касательной и хордой, см. рис.) и ∠EOK = α (CA || OB). Следовательно, треугольники AOK и OEK подобны, значит, OK : EK = AK : OK ⇔ OK² = AK·EK.
С другой стороны, по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки, KВ² = KА·KЕ. Таким образом, OK = KB.
Замечания
Равенство OK² = AK·EK можно также получить из других соображений. Рассмотрим описанную окружность треугольника АЕО и касательную к ней в точке О (см. рис.). Из равенства углов OAE и EOK следует, что эта касательная совпадает с прямой ОВ. Применив для построенной окружности и точки K свойство касательной и секущей, получим требуемое равенство.
