Составить программу решения предыдущей задачи, использующую тот факт, что составное число имеет делитель, не превосходящий квадратного корня из этого числа.

   Решение

Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы
     y = xⁿ + px + q,  z = yⁿ + py + q,  x = zⁿ + pz + q,
то выполнено неравенство  x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y.
Рассмотрите случаи   а)  n = 2;   б)  n = 2010.

   Решение

Решите систему уравнений:
    xy(x + y) = 30
    x³ + y³ = 35.

   Решение

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A₁A₂... A₂₀₀₈, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A₁A₂... A₂₀₀₈, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.

Прислать комментарий

Решение

В блицтурнире принимали участие  2n + 3  шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]