Версия для печати
Убрать все задачи
Функция f(x) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что f(1) + f(2) = 10 и 
при любых а и b. Найдите f(22011).
Решение
На столе лежат N > 2 кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты,
и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.
Решение
Трём мудрецам показали 9 карт: шестерку, семерку, восьмерку, девятку, десятку, валета, даму, короля и туза (карты перечислены по возрастанию их достоинства). После этого карты перемешали и каждому раздали по три карты. Каждый мудрец видит только свои карты. Первый сказал: "Моя старшая карта – валет". Тогда второй ответил: "Я знаю, какие карты у каждого из вас". У кого из мудрецов был туз?
Решение
Точки
A1,...,
An лежат на окружности с центром
O,
причем
+...+
=
. Докажите, что
для любой точки
X справедливо неравенство
XA1 +...+
XAn
nR, где
R — радиус окружности.
Решение
Даны угол
ABC и точка
M внутри его. Постройте
окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку
M.
Решение
Выпуклый N-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в чёрный и белый цвета так, что каждые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого N найдите максимум разности количества белых и количества чёрных треугольников.
Решение
На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число x. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке
число x²?
Решение
Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
29 турнир (2007/2008 год)
>>
осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
