Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке. M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырехугольник.
Решениеа) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1.
б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1/9.
РешениеВ каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть A1, B1 и C1 — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
РешениеНа доске написано 10 плюсов и 15 минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется на доске после выполнения 24 таких операций?
РешениеЧему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?
РешениеДокажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.
Решение
Задачи
Задача 109573 (#94.4.11.1) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109574 (#94.4.11.2) |
|
|
В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.
|
|
Решение |
Задача 108202 (#94.4.11.3) |
|
Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 109576 (#94.4.11.4) |
|
|
В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек (m > n). За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.
|
|
|
Решение |
Задача 60470 (#94.4.11.5) |
|
|
Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
