-
Региональный этап
(23 задачи)
Заключительный этап
(22 задачи)
Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Пусть многочлен P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 имеет корни x1, x2, ..., xn, то есть P(x) = (x – x1)(x – x2)...(x – xn). Рассмотрим многочлен
Q(x) = P(x)P(– x). Докажите, что
а) многочлен Q(x) имеет степень 2n и содержит только чётные степени переменной x;
б) функция Q() является многочленом с корнями
РешениеДокажите, что:
а) rp = ra(p - a), rra = (p - b)(p - c) и rbrc = p(p - a);
б) S2 = p(p - a)(p - b)(p - c) (формула Герона);
в) S2 = rrarbrc.
РешениеНайти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.
РешениеДана линейка постоянной ширины (т.е. с параллельными краями) и без делений. Постройте биссектрису данного угла.
РешениеДаны два одинаково ориентированных квадрата $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$, $A_1B_1$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Докажите, что $PR\perp QS$.
РешениеВнутри выпуклого стоугольника выбрано k точек, 2
Решение
Задачи
Задача 109552 (#94.5.11.2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109553 (#94.5.11.3) |
|
|
|
Решение |
Задача 109554 (#94.5.11.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109555 (#94.5.11.5) |
|
|
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
|
|
|
Решение |
Задача 109562 (#94.5.11.6) |
|
|
Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых
f(x) = g(y), через n – число пар, для которых f(x) = f(y), а через k – число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m ≤ n + k.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
