Этапы:
-
Региональный этап
(23 задачи)
Заключительный этап
(22 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
Каждая из окружностей S1 , S2 и S3
касается внешним образом окружности S (в точках
A1 , B1 и C1 соответственно) и двух
сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что
прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются
в одной точке.
Даны такие натуральные числа a и b, что число a+1/b + b+1/a является целым.
Докажите, что наибольший общий делитель чисел a и b не превосходит числа
.
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
Задача 109561 (#94.5.10.5) |
|
|
Докажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство [k, m][m, n][n, k] ≥ [k, m, n]².
|
|
Решение |
Задача 109562 (#94.5.10.6) |
|
|
Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых
f(x) = g(y), через n – число пар, для которых f(x) = f(y), а через k – число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m ≤ n + k.
|
|
|
Решение |
Задача 108205 (#94.5.10.7) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109564 (#94.5.10.8) |
|
|
В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше; если A учится лучше B, а тот – лучше C, то A учится лучше C.)
|
|
|
Решение |
Задача 109551 (#94.5.11.1) |
|
|
Докажите, что наибольший общий делитель чисел a и b не превосходит числа
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
