Версия для печати
Убрать все задачи

---

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.

   Решение

---

Может ли наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., n быть в 2008 раз больше, чем наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., m?

   Решение

---

Докажите, что любой жесткий плоский треугольник T площади меньше 4 можно просунуть сквозь треугольную дырку Q площади 3.

   Решение

---

Расстояние между пунктами A и B равно 40 км. Пешеход вышел из A в 4 часа. Когда он прошёл половину пути, его догнал велосипедист, который выехал из A в 7:20. Через час после этого пешеход встретил другого велосипедиста, который выехал из B в 8:30. Скорости велосипедистов одинаковы. Определить скорость пешехода.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109147

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108969

Тема:   [ Задачи на движение ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Расстояние между пунктами A и B равно 40 км. Пешеход вышел из A в 4 часа. Когда он прошёл половину пути, его догнал велосипедист, который выехал из A в 7:20. Через час после этого пешеход встретил другого велосипедиста, который выехал из B в 8:30. Скорости велосипедистов одинаковы. Определить скорость пешехода.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108971

Темы:   [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Доказать, что если в треугольнике ABC со стороной  BC = 1  радиус r_a вневписанной окружности вдвое больше радиуса r вписанной окружности, то площадь треугольника численно равна 2r.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109144

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Решить уравнение  x² + 3x + 9 = 9n²  в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108968

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Доказать, что если окружность касается трёх сторон выпуклого четырёхугольника и не пересекает четвёртой, то сумма четвёртой и противоположной ей стороны меньше суммы остальных сторон четырёхугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями