Каталог по источникам

Выбрано 10 задач

Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
а) 8; б) 32 различных делителя.

Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых – целое число метров.
Верно ли, что периметр исходного прямоугольника – тоже целое число метров?

Решение

"То" да "это", да половина "того" да "этого" – сколько это будет процентов от трёх четвертей "того" да "этого"?

Решение

Авторы: Николаев С.А., Ивлев Ф.

Дан правильный 4n-угольник A₁A₂...A_4n площади S, причём n > 1. Найдите площадь четырёхугольника A₁A_nA_{n +1}A_n+2.

Решение

Пусть n $\ge$ 3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

Решение

Докажите, что при повороте окружность переходит в окружность.

Решение

B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на два стада по 50 коров в каждом, так что суммарный вес коров первого стада равен суммарному весу коров другого стада. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.

Решение

Известно, что где x > 0, y > 0, z > 0. Докажите, что

Решение

Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом p является простым числом.

Решение

Если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то каждое из этих чисел делится на 3. Доказать.

Решение

Задача 78552

Задача 30303

Задача 54646

Задача 109172

Задача 108744