Задача 30303

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Условие

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Подсказка

При указанных операциях чётность суммы всех написанных на доске чисел не меняется.

Решение

Модуль разности двух целых чисел имеет ту же чётность, что и сумма этих чисел. Поэтому, при указанной замене чётность суммы всех чисел не меняется. Сумма целых чисел от 1 до 1985 нечётна (среди них нечётное количество нечётных чисел). Поэтому она не может стать равной нулю.

Ответ

Не может.

Замечания

В различных вариантах задачи предлагались также наборы чисел от 1 до 37, до 1974, до 1996, до 2005.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1966
Название	16-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Номер	16
неизвестно
Название	Задача 9.4
Кружок
Название	Кировская ЛМШ
класс
Класс	6
год
Год	2000 год
Место проведения	Вишкиль
занятие
Номер	Чётность-3
Название	Чётность-3
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	07
Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Место проведения	57 школа
Год	2005/06
занятие
Номер	1
Тема	Неопределено
Название	Первое занятие
задача
Номер	5
кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	6
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	4
задача
Номер	4.6
кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	20
задача
Номер	20.3
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Четность
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	022