ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 , отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1 , BCA1 , CAB1 равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1 , проходит через точку H .

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      



Задача 109742  (#01.5.10.6)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 108143  (#01.5.10.7)

Темы:   [ Перегруппировка площадей ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 , отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1 , BCA1 , CAB1 равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1 , проходит через точку H .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109744  (#01.5.10.8)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Джукич Д.

Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число  a + b – 1  также является делителем n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .