Версия для печати
Убрать все задачи

---

Проставим знаки плюс и минус в 99-й строке треугольника Паскаля. Между первым и вторым числом – минус, между вторым и третьим – плюс, между третьим и четвёртым – минус, потом опять плюс, и так далее. Найдите значение полученного выражения.

   Решение

---

Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.

   Решение

---

Таблица 10×10 заполняется по правилам игры "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?

   Решение

---

В клетках доски  n×n  произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  n + 1.

   Решение

---

Какое число нужно добавить к числу  (n² – 1)¹⁰⁰⁰(n² + 1)¹⁰⁰¹,  чтобы результат делился на n?

   Решение

---

Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108001  (#1)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97810  (#2)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Найти все такие натуральные k, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98205  (#3)

Темы:   [ Четырехугольники (построения) ] [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97817  (#4)

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

a₁, a₂, a₃, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_ak = 3k  для любого k.
Найти   а)  a₁₀₀;   б)  a₁₉₈₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97813  (#5)

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На шахматной доске N×N стоят N² шашек. Можно ли их переставить так, чтобы любые две шашки, отстоявшие на ход коня, после перестановки отстояли друг от друга лишь на ход короля (то есть стояли рядом)? Рассмотрите два случая:
  а)  N = 3;
  б)  N = 8.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями