Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 98296

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Бугаенко В.О., Егоров А.А.

Положительные числа a, b, c таковы, что a² + b² – ab = c². Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107810

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

В клетчатом квадрате 10×10 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам квадрата,

нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

Прислать комментарий Решение

Задача 108681

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Произволов В.В.

Точки P₁, P₂, ..., P_n–1 делят сторону BC равностороннего треугольника ABC на n равных частей: BP₁ = P₁P₂ = ... = P_n–lC. Точка M выбрана на стороне AC так, что AM = BP₁.

Докажите, что ∠AP₁M + ∠AP₂M + ... + ∠AP_n–1M = 30°, если
а) n = 3;
б) n – произвольное натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107812

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Бегун Б.И.

В углу шахматной доски размером m×n полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

Прислать комментарий

Решение

Задача 107813

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Системы точек	]
	[	Задачи на проценты и отношения	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Автор: Константинов Н.Н.

В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]