ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107813
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Системы точек ]
[ Задачи на проценты и отношения ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
    1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
    2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
  В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?


Решение

  Приведём пример. Пусть в стране 10 человек, все их дома располагаются на одной прямой, в порядке возрастания ростов этих людей. Пусть расстояния между между ними таковы: 1 км, 2 км, 3 км, 4 км, 5 км, 4 км, 3 км, 2 км, 1 км (см. рис.).

  Тогда все, кроме самого высокого, могут бесплатно ездить в транспорте. Действительно, пятеро самых низких могут выбрать круг радиуса 100 км, тогда они будут ниже 5 из 9 своих соседей. Остальные должны выбрать круг, в котором будет только один сосед. С другой стороны, все, кроме самого низкого, могут играть в баскетбол – для этого пятерым самым высоким нужно выбирать круг радиуса 100 км, а остальным – круг, содержащий только одного соседа.


Ответ

Может.

Замечания

Ср. с задачей 98310.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 59
Год 1996
вариант
Класс 10
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .