Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (a + b - c)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2.

   Решение

---

Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.

   Решение

---

Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Известны отрезки KH = a и BD = b. Найдите расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника BKH.

   Решение

---

Три лягушки на болоте прыгнули по очереди. Каждая приземлялась точно в середину отрезка между двумя другими. Длина прыжка второй лягушки 60 см. Найдите длину прыжка третьей лягушки.

   Решение

---

По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107797

Тема:   [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Известно, что a + = b + . Верно ли, что a = b?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107801

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В углу шахматной доски размером n×n полей стоит ладья. При каких n, чередуя горизонтальные и вертикальные ходы, она может за n² ходов побывать на всех полях доски и вернуться на место? (Учитываются только поля, на которых ладья останавливалась, а не те, над которыми она проносилась во время хода.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108680

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дан равносторонний треугольник ABC. Сторона BC разделена на три равные части точками K и L, а точка M делит сторону AC в отношении  1 : 2,  считая от вершины A. Докажите, что сумма углов AKM и ALM равна 30°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107799

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ ГМТ с ненулевой площадью ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107798

Темы:   [ Взвешивания ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями