Версия для печати
Убрать все задачи

---

Фокусник научил Каштанку лаять столько раз, сколько он ей тайком от публики покажет. Когда Каштанка таким способом правильно ответила, сколько будет дважды два, он спрятал вкусный кекс в чемодан с кодовым замком и сказал:

— Восьмизначный код от чемодана — решение ребуса УЧУЙ = КЕ × КС. Надо заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные разными так, чтобы получилось верное равенство. Пролай нужное число раз на каждую из восьми букв, и получишь угощение.

Но тут случился конфуз. Каштанка от волнения на каждую букву лаяла на 1 раз больше, чем надо. Конечно, чемодан не открылся. Вдруг раздался детский голос: «Нечестно! Собака правильно решила ребус!» И действительно, если каждую цифру решения, которое имел в виду фокусник, увеличить на 1, получится ещё одно решение ребуса!

Можно ли восстановить: а) какое именно решение имел в виду фокусник; б) чему равнялось число УЧУЙ в этом решении?

   Решение

---

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 132]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109159

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найти целые решения уравнения  x²y = 10000x + y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109169

Тема:   [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел y, удовлетворяющих условию  |y + ¹/_y| = .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109171

Темы:   [ Средние величины ] [ Доказательство от противного ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109177

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений
    a sin x + b cos x + c = 0,   2a tg x + b ctg x + 2c = 0
имеет решение.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109180

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Доказать, что если стороны квадрата и равновеликого ему прямоугольника выражены целыми числами, то отношение их периметров выражено не целым числом.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 132]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями