Информация о задаче

Задача 109171

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.

Решение

Будем разбивать натуральные числа, начиная с 1, на два класса: I и II, причём будем стараться, чтобы ни один класс не содержал вместе с двумя числами их среднее арифметическое. Поскольку ½ (a + c) = b ⇔ c = 2b – a, то если, например, a и b отнесены в класс I, то число 2b – a должно быть отнесено в класс II. Не нарушая общности, положим 1 ∈ I. Возможны два случая.
1) 2 ∈ I. Тогда 3 ∈ II. Возможны два подслучая.
1а) 4 ∈ I.

Тогда 2·4 – 2 = 6 ∈ II и 2·4 – 1 = 7 ∈ II, следовательно, 5 ∈ I и 8 ∈ I, так как иначе класс II содержал бы три последовательных натуральных числа. Если 9 ∈ I, то 5 будет полусуммой 1 и 9, а если 9 ∈ II, то 6 будет полусуммой 3 и 9.
1б) 4 ∈ II.

Тогда 5 ∈ I, 2·5 – 2 = 9 ∈ II, 2·5 – 2 = 8 ∈ II, следовательно, 7 ∈ I. Если 6 ∈ I, то 6 будет полусуммой 5 и 7, а если 6 ∈ II, то 6 будет полусуммой 4 и 8.
2) 2 ∈ II. Возможны три подслучая.
2а) 3 ∈ I, 4 ∈ I.

Тогда 5 ∈ II, 2·4 – 1 = 7 ∈ II, следовательно, 6 ∈ I; поэтому 2·6 – 4 = 8 ∈ II. Если 9 ∈ I, то 6 будет полусуммой 3 и 9, а если 9 ∈ II, то 8 будет полусуммой 7 и 9.
2б) 3 ∈ I, 4 ∈ II.

Тогда 2·3 – 1 = 5 ∈ II, следовательно, 6 ∈ I, 2·5 – 2 = 8 ∈ I, а отсюда 7 ∈ II. Если 9 ∈ I, то 6 будет полусуммой 3 и 9, а если 9 ∈ II, то 7 будет полусуммой 5 и 9.
2в) 3 ∈ II.

Тогда 4 ∈ I, 2·4 – 1 = 7 ∈ II, (3 + 7) : 2 = 5 ∈ I, следовательно, 6 ∈ II, а 8 ∈I. Если 9 ∈ I, то 5 будет полусуммой 1 и 9, а если 9 ∈ II, то 6 будет полусуммой 3 и 9.

Замечания

Это решение доказывает, что утверждение верно даже для чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (а значит, и для любых девяти последовательных членов произвольной арифметической прогрессии).

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1966
Название	16-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Номер	16
неизвестно
Название	Задача 10.4