Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что  x > y,  верно неравенство  (f(x))² ≤ f(y).  Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке  [0,1].

   Решение

---

Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.

   Решение

---

Федя К. вышел из некоторой точки, прошел 1км на север, затем - 1км на восток, затем - 1км на юг и вернулся в исходную точку.
  а) Где такое могло произойти?
  б) Найдите все такие точки на Земле.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 31293  (#21)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Решить в целых числах:  ¹/_a + ¹/_b = ¹/_c,  b и c – простые.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31294  (#22)

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Найти все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых периметр равен площади.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31295  (#23)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

Есть 100 купюр двух типов: по a и b рублей, причём  a ≠ b (mod 101).
Доказать, что можно выбрать несколько купюр так, что полученная сумма (в рублях) делится на 101.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31296  (#24)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Обыкновенные дроби ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

a) Решить в целых числах уравнение   ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.
б)   ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c < 1  (a, b, c – натуральные числа). Доказать, что   ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c < ⁴¹/₄₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31297  (#25)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  n² + p  (p – простое).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями