Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.

   Решение

---

Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.

   Решение

---

Когда встречаются два жителя Цветочного города, один отдает другому монету в 10 копеек, а тот ему - 2 монеты по 5 копеек. Могло ли случиться так, что за день каждый из 1990 жителей города отдал ровно 10 монет?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98271  (#1)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98282  (#2)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98283  (#3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Шестизначное число начинается с цифры 5. Верно ли, что к нему всегда можно приписать справа шесть цифр так, чтобы получился полный квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98284  (#4)

Темы:   [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На плоскости даны три точки A, B, C. Через точку C проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до A и B было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями