Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более n/2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.

   Решение

---

Может ли путник выйти из лабиринта? Если может, то напечатать путь от выхода до начального положения путника. Лабиринт задан массивом А размером 40*40, в котором:

А [k, m] = 0 , если клетка [k,m] "проходима'';

А [k,m] = 1, если клетка [k,m] '' непроходима ''.

Начальное положение путника задается в проходимой клетке [i, j]. Путник может перемещаться из одной проходимой клетки в другую, если они имеют общую сторону. Путник выходит из лабиринта , когда попадает в граничную клетку ( то есть клетку [k,m],где k или m равны 1 или 40 ).

   Решение

---

Имеется несколько гирь, общая масса которых равна 1 кг. Каждой гире присвоен свой номер: 1, 2, 3, .... Доказать, что найдётся такой номер n, что масса гири с номером n строго больше кг.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65704  (#11.1)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c,  не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена  f(x) быть рациональным?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65705  (#11.2)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию  xyz ≥ xy + yz + zx.  Докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65706  (#11.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к описанной окружности Ω треугольника ABC пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к описанной окружности Γ треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65707  (#11.4)

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Есть клетчатая доска 2015×2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500×1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65702  (#11.5)

Темы:   [ Теория множеств (прочее) ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых  a + b  лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями