Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?

   Решение

---

Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
  а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
  б) Докажите, что найдутся две такие хорды.

   Решение

---

Рассматривается функция y = f (x), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа k ≠ 0 соотношению f (x + k) ^. (1 − f (x)) = 1 + f (x). Доказать, что f (x) — периодическая функция.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65546  (#1)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Можно ли целые числа от 1 до 2004 расставить в некотором порядке так, чтобы сумма каждых десяти подряд стоящих чисел делилась на 10?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65547  (#2)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В ящике лежат 111 шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика различных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись три шарика различных цветов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65548  (#3)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Степень вершины ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из каждого города можно проехать в любой другой (возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил n билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города A. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом городе B. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в городе X и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что X – это либо A, либо B

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65549  (#4)

Темы:   [ Построения (прочее) ] [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Даны непересекающиеся окружность и прямая. Как с помощью циркуля и линейки построить квадрат, две соседние вершины которого лежат на данной окружности, а две другие вершины – на данной прямой (если известно, что такой квадрат существует)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65550  (#5)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Сколько существует разных способов разбить число 2004 на натуральные слагаемые, которые приблизительно равны? Слагаемых может быть одно или несколько. Числа называются приблизительно равными, если их разность не больше 1. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями