|
|
 |
Условие
Можно ли целые числа от 1 до 2004 расставить в некотором порядке так, чтобы сумма каждых десяти подряд стоящих чисел делилась на 10?
Решение
Пусть так расставить числа удалось. Вычитая из суммы an + an+1 + ... + an+9 сумму an+1 + ... + an+9 + an+10, видим, что an ≡ an+10 (mod 10), то есть an и an+10 оканчиваются на одинаковые цифры. Среди последних цифр чисел a1, a2, ..., a10 встречаются все цифры от 0 до 9 (иначе пропущенная цифра не встретится ни разу во всей последовательности), поэтому a1 + ... + a10 ≡ 5 (mod 10). Противоречие.
Ответ
Нельзя.
Замечания
1. Нельзя добиться даже того, чтобы сумма каждых десяти подряд стоящих была чётной. Действительно, в этом случае an и an+10 одной чётности. Разбив числа на 200 десятков и одну четвёрку, заметим, что в каждом десятке количество нечётных чисел одинаково (пусть оно равно k).
998 ≤ 200k ≤ 1002. Отсюда k = 5, и, значит, сумма чисел в каждом десятке нечётна. Противоречие.
2. 3 балла.
