Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны между собой.

   Решение

---

Положительные числа $a$ и $b$ таковы, что $a - b = a / b$. Что больше, $a + b$ или $a b$?

   Решение

---

Саша спускался по лестнице из своей квартиры к другу Коле, который живет на первом этаже. Когда он спустился на несколько этажей, оказалось, что он прошёл треть пути. Когда он спустился ещё на один этаж, ему осталось пройти половину пути. На каком этаже живёт Саша?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78541  (#1)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Задачи на смеси и концентрации ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В n мензурок налиты n разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно ¹/_n от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78542  (#2)

Темы:   [ Центр масс ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78543  (#3)

Темы:   [ Теорема Птолемея ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78538  (#4)

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Доказать, что любое чётное число 2n 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78544  (#5)

Темы:   [ Формула включения-исключения ] [ Функция Эйлера ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями