Задача 78539

Темы:    [ Теорема Птолемея ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

Решение

Пусть D – точка пересечения биссектрисы угла A c описанной окружностью треугольника. По теореме Птолемея AD· BC = AB· CD + AC· BD . Так как BD=CD и BC=(AB+CD)/2 , то AD=2BD . Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC . Легко проверить, что ID=BD . Поэтому I – середина отрезка AD , откуда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	4