ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники >> параграф 2. Изопериметрическое неравенство
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Доказать, что наибольший общий делитель чисел вида  p4 – 1,  где p – простое число, большее 5, равен 240.

Вниз   Решение

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $ \geqslant$ 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 5an + 1 - 6an;
б) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = 3an + 1 - 2an;
в) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = an + 1 + an;
г) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - an;
д) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 2an + 1 + an.

ВверхВниз   Решение

Автор: Васильев Н.Б.

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
  а) треугольник T1 был остроугольным?
  б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)?
  в) треугольник T3 был подобен треугольнику T?
  г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник Tn подобен треугольнику Т.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

  с решениями  

Задача 58129  (#22.BIs14)

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 7+
Классы: 8,9

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен P, то S$ \le$P2/4$ \pi$, причём равенство достигается только в случае круга (изопериметрическое неравенство).
Прислать комментарий     Решение

Задача 58130  (#22.BIs15)

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 7+
Классы: 8,9

Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников A1...An и B1...Bn равны, причём многоугольник B1...Bn вписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника A1...An.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58131  (#22.BIs15a)

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 7+
Классы: 8,9

Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна L, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна S. Докажите, что S$ \le$L2/2$ \pi$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58132  (#22.BIs16)

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 7+
Классы: 8,9

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .